中学生でも分かる！？統計数学〜カイ二乗分布とF分布〜

今回は「カイ二乗分布」と「F分布」の数式について説明していきます！

ちょっと難しく感じるかもしれませんが、これらは元をたどれば「正規分布」から派生した仲間達なのです。

過去の記事と組み合わせて読むとより理解が深まると思います。

是非読んでください！！

過去記事：

カイ二乗分布

「そもそもカイ二乗検定って何だったっけ？」という方はこちらの記事をご参照ください。

「自由度」という言葉に馴染みがない方もいらっしゃると思うので、後述します。

「自由度」とは、データの中で「自由に動ける数字の数」のことです。

例：3人のテストの平均点が60点だと決まっているとします。

t分布のように平均を使う場合、自由度は「データの数 − 1」になります。

しかし、今回のカイ二乗分布では「足した正規分布の数」が自由度になります。

簡単にまとめると、

もし次のような正規分布に従うデータを考えます：

$Z_1, Z_2, \dots, Z_k \sim N(0,1)$

これらを二乗して足すと…

$X = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2$

この $X$ が従う分布を カイ二乗分布（自由度 k） と呼びます。

$f(x; k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}, \quad x \geq 0$

登場人物：

図式化するとこちら。

自由度が小さいと「山は左（0の近く）に寄り、右に長い裾を引く形」になっていますね。

一方、自由度が大きくなるとまるで正規分布のような形に近づきます。

「ANOVAって何だか忘れっちまった…」という方はこちらの記事をどうぞ。

2つの独立したカイ二乗分布 $U, V$ を考えます：

$U \sim \chi^2(m), \quad V \sim \chi^2(n)$

これをそれぞれ自由度で割り、その比をとると…

$F = \frac{U/m}{V/n}$

この $F$ が従う分布を F分布（自由度 m, n） と呼びます。

$f(x; m, n) = \frac{\sqrt{\frac{(m x)^m n^n}{(m x + n)^{m+n}}}}{x \, B!\left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{n}{2}\right)}, \quad x > 0$

登場人物：

$m, n$ ：自由度（分子・分母それぞれのカイ二乗分布の自由度）
分子 $U/m$ ：1つ目のばらつき
分母 $V/n$ ：2つ目のばらつき
$B!\left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{n}{2}\right)$ ：ベータ関数。分布の形を調整する役割（ガンマ関数と関係があり、 $B(p, q) = \tfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$ で表せる）